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已知函数f(x)=(x2-3x+3)•ex,其定义域为[-2,t](t>-2).
(1)试确定t的范围,使得函数f(x)在区间[-2,t]上为增函数;
(2)求证:f(t)>f(-2);
(3)求证:对任意t>-2,总有x0∈(-2,t)满足数学公式,并确定这样的x0的个数.

(1)解:因为f′(x)=(2x-3)ex+(x2-3x+3)ex
由f′(x)>0?x>1或x<0,
由f′(x)<0?0<x<1,
∴函数f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,
∵函数f(x)在[-2,t]上为单调函数,
∴-2<t≤0,
(2)证:因为函数f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,
所以f(x)在x=1处取得极小值e,
又f(-2)=13e-2<e,
所以f(x)在[2,+∞)上的最小值为f(-2),
从而当t>-2时,f(-2)<f(t),
(3)证:因为 =x02-x0

即为x02-x0=
令g(x)=x2-x-
从而问题转化为证明方程g(x)==0在(-2,t)上有解并讨论解的个数,
因为g(-2)=6-=-
g(t)=t(t-1)-=
所以当t>4或-2<t<1时,g(-2)•g(t)<0,
所以g(x)=0在(-2,t)上有解,且只有一解,
当1<t<4时,g(-2)>0且g(t)>0,
但由于g(0)=-<0,
所以g(x)=0在(-2,t)上有解,且有两解,
当t=1时,g(x)=x2-x=0,
解得x=0或1,
所以g(x)=0在(-2,t)上有且只有一解,
当t=4时,g(x)=x2-x-6=0,
所以g(x)=0在(-2,t)上也有且只有一解,
综上所述,对于任意的t>-2,总存在x0∈(-2,t),满足
且当t≥4或-2<t≤1时,有唯一的x0适合题意,
当1<t<4时,有两个x0适合题意
分析:(1)首先求出函数的导数,然后根据导数与函数单调区间的关系确定t的取值范围,
(2)运用函数的极小值进行证明,
(3)首先对关系式进行化简,然后利用根与系数的关系进行判定.
点评:本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力.
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π
4
)
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π
6
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1
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2
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1
f(n)
}
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A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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