Question

设点A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0）．直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积为k．则下列说法正确的是______
（1）当k=

b2

a2

时，点M的轨迹是双曲线．（其中a，b∈R⁺）
（2）当k=-

b2

a2

时，点M的轨迹是部分椭圆．（其中a，b∈R⁺）
（3）在（1）条件下，点p（x₀，y₀）（x₀＜0）是曲线上的点F₁（-

a2+b2

，0)，F₂（

a2+b2

，0），且|PF₁|=

1

4

|PF₂|，则（1）的轨迹所在的圆锥曲线的离心率取值范围（1，

5

3

]
（4）在（2）的条件下，过点F₁（-

a2-b2

，0），F₂（

a2-b2

，0）．满足

.

MF1

•

.

MF2

=0的点M总在曲线的内部，则（2）的轨迹所在的圆锥曲线的离心率的取值范围是(

2

2

，1)．

Answer 1

设M（x，y），由A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0），
则kAM=

y

x+a

（x≠-a），kBM=

y

x-a

（x≠a），
由k_AM•k_BM=k，得：

y

x+a

•

y

x-a

=k，即kx²-y²=ka²①．
（1）若k=

b2

a2

（a，b∈R⁺），则方程①化为

x2

a2

-

y2

b2

=1，点M的轨迹是双曲线除去两个顶点，
∴命题（1）不正确；
（2）若k=-

b2

a2

（a，b∈R⁺），则方程①化为

x2

a2

+

y2

b2

=1，点M的轨迹是椭圆除去长轴上两个顶点，
∴命题（2）正确；
（3）在（1）条件下，点p（x₀，y₀）（x₀＜0）是曲线上的点，说明点P在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左支上，
F₁，F₂是双曲线的左右焦点，则由|PF₁|=

1

4

|PF₂|及|PF₂|-|PF₁|=2a求得|PF1|=

2

3

a，|PF2|=

8

3

a，
又|PF₁|+|PF₂|=

2

3

a+

8

3

a≥2c，∴

c

a

≤

5

3

，又e＞1，∴（1）的轨迹所在的圆锥曲线的离心率取值范围（1，

5

3

]．
∴命题（3）正确；
（4）在（2）的条件下，由满足

.

MF1

•

.

MF2

=0的点M总在曲线的内部，说明满足MF₁⊥MF₂的点M在曲线内部，若点M在曲线上，则|MF1|2+|MF2|2＞4c2，取M为椭圆短轴的一个端点，则|MF₁|=|MF₂|=a，所以2a²＞4c²，
则

c

a

＜

2

2

．∴命题（4）错误．
所以，正确的命题是②③．
故答案为②③．