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设点A,B的坐标分别为(-a,0),(a,0).直线AM,BM相交于点M,且他们的斜率之积为k.则下列说法正确的是______
(1)当k=
b2
a2
时,点M的轨迹是双曲线.(其中a,b∈R+
(2)当k=-
b2
a2
时,点M的轨迹是部分椭圆.(其中a,b∈R+
(3)在(1)条件下,点p(x0,y0)(x0<0)是曲线上的点F1(-
a2+b2
,0)
,F2
a2+b2
,0),且|PF1|=
1
4
|PF2|,则(1)的轨迹所在的圆锥曲线的离心率取值范围(1,
5
3
]
(4)在(2)的条件下,过点F1(-
a2-b2
,0),F2
a2-b2
,0).满足
.
MF1
.
MF2
=0的点M总在曲线的内部,则(2)的轨迹所在的圆锥曲线的离心率的取值范围是(
2
2
,1)
设M(x,y),由A,B的坐标分别为(-a,0),(a,0),
kAM=
y
x+a
(x≠-a),kBM=
y
x-a
(x≠a),
由kAM•kBM=k,得:
y
x+a
y
x-a
=k
,即kx2-y2=ka2①.
(1)若k=
b2
a2
(a,b∈R+),则方程①化为
x2
a2
-
y2
b2
=1
,点M的轨迹是双曲线除去两个顶点,
∴命题(1)不正确;
(2)若k=-
b2
a2
(a,b∈R+),则方程①化为
x2
a2
+
y2
b2
=1
,点M的轨迹是椭圆除去长轴上两个顶点,
∴命题(2)正确;
(3)在(1)条件下,点p(x0,y0)(x0<0)是曲线上的点,说明点P在双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
的左支上,
F1,F2是双曲线的左右焦点,则由|PF1|=
1
4
|PF2|及|PF2|-|PF1|=2a求得|PF1|=
2
3
a,|PF2|=
8
3
a

又|PF1|+|PF2|=
2
3
a+
8
3
a≥2c
,∴
c
a
5
3
,又e>1,∴(1)的轨迹所在的圆锥曲线的离心率取值范围(1,
5
3
].
∴命题(3)正确;
(4)在(2)的条件下,由满足
.
MF1
.
MF2
=0的点M总在曲线的内部,说明满足MF1⊥MF2的点M在曲线内部,若点M在曲线上,则|MF1|2+|MF2|2>4c2,取M为椭圆短轴的一个端点,则|MF1|=|MF2|=a,所以2a2>4c2
c
a
2
2
.∴命题(4)错误.
所以,正确的命题是②③.
故答案为②③.
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设点A,B的坐标分别为(-a,0),(a,0).直线AM,BM相交于点M,且他们的斜率之积为k.则下列说法正确的是
(2)(3)
(2)(3)

(1)当k=
b2
a2
时,点M的轨迹是双曲线.(其中a,b∈R+
(2)当k=-
b2
a2
时,点M的轨迹是部分椭圆.(其中a,b∈R+
(3)在(1)条件下,点p(x0,y0)(x0<0)是曲线上的点F1(-
a2+b2
,0)
,F2
a2+b2
,0),且|PF1|=
1
4
|PF2|,则(1)的轨迹所在的圆锥曲线的离心率取值范围(1,
5
3
]
(4)在(2)的条件下,过点F1(-
a2-b2
,0),F2
a2-b2
,0).满足
.
MF1
.
MF2
=0的点M总在曲线的内部,则(2)的轨迹所在的圆锥曲线的离心率的取值范围是(
2
2
,1)

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设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为-2,则点M的轨迹是(  )

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(1)当k=时,点M的轨迹是双曲线.(其中a,b∈R+
(2)当k=-时,点M的轨迹是部分椭圆.(其中a,b∈R+
(3)在(1)条件下,点p(x,y)(x<0)是曲线上的点F1(-,F2,0),且|PF1|=|PF2|,则(1)的轨迹所在的圆锥曲线的离心率取值范围(1,]
(4)在(2)的条件下,过点F1(-,0),F2,0).满足=0的点M总在曲线的内部,则(2)的轨迹所在的圆锥曲线的离心率的取值范围是

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