Question

已知实数x，y满足不等式组

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

，若目标函数z=y-ax取得最小值时的唯一最优解是（1，3），则实数a的取值范围为（　　）

• A、（-∞，-1）
• B、（0，1）
• C、[1，+∞）
• D、（1，+∞）

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用目标函数z=y-ax取得最小值时的唯一最优解是（1，3），得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值范围．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=y-ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．
平移直线y=ax+z，要使目标函数z=y-ax取得最小值时的唯一最优解是（1，3），
即直线y=ax+z经过点A（1，3）时，截距最小，
由图象可知当阴影部分必须在直线y=ax+z的右上方，
此时只要满足直线y=ax+z的斜率a小直线AB的斜率即可，
直线AB方程为x+y-4=0，即y=-x+4，直线的斜率为-1，
∴a＜-1．
故a的取值范围是（-∞，-1）
故选：A．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．根据目标函数在A（1，3）取得最小值，得到直线斜率的关系是解决本题的关键．