Question

已知双曲线C₁：(a>0)，抛物线C₂的顶点在原点O，C₂的焦点是C₁的左焦点F₁。
（1）求证：C₁，C₂总有两个不同的交点；
（2）问：是否存在过C₂的焦点F₁的弦AB，使ΔAOB的面积有最大值或最小值？若存在，求直线AB的方程与S_ΔAOB的最值，若不存在，说明理由。

Answer 1

（1）（因为x₁≠0），所以C₁，C₂总有两个不同交点。
（2）存在过F的直线x=使ΔAOB面积有最小值6a²

（1）由双曲线方程得，所以F₁(,0)，抛物线焦点到准线的距离，抛物线：   ①
把①代入C₁方程得：        ②
Δ=64a²>0，所以方程②必有两个不同实根，设为x₁,x₂,由韦达定理得x₁x₂=-a²<0，所以②必有一个负根设为x₁,把x₁代入①得y²=,所以（因为x₁≠0），所以C₁，C₂总有两个不同交点。
（2）设过F₁(,0)的直线AB为my=(x+a),由得y²+4may-12a²=0，因为Δ=48m²a²+48a²>0，设y₁,y₂分别为A，B的纵坐标，则y₁+y₂=,y₁y₂=-12a².所以(y₁-y₂)²=48a²(m²+1).所以S_ΔAOB=|y₁-y₂|•|OF₁|=a•a•，当且仅当m=0时，S_ΔAOB的面积取最小值；当m→+∞时，S_ΔAOB→+∞，无最大值。所以存在过F的直线x=使ΔAOB面积有最小值6a²。