Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物线于A，B两点，其中点A在第一象限，若

FA

=λ

AP

，

BF

=μ

FA

，

λ

μ

∈[

1

4

，

1

2

]，则μ的取值范围是（　　）

• A．[1，

  4

  3

  ]
• B．[

  4

  3

  ，2]
• C．[2，3]
• D．[3，4]

Answer 1

分析：设P（0，y₀），B（x₂，y₂），A（x₁，y₁），代入已知向量式，由向量相等的定义得A、B两点横坐标与纵坐标间的关系，再结合两点在抛物线上，经互相代换得λ和μ间的等式，从而利用

λ

μ

∈[

1

4

，

1

2

]求得μ的范围

解答：解：设P（0，y₀），B（x₂，y₂），A（x₁，y₁），由

FA

=λ

AP

，

BF

=μ

FA

得(x1-

p

2

，y1)=λ (-x1，y0-y1)，(

p

2

-x2，-y2)=μ (x1-

p

2

，y1)
∴x1-

p

2

=-λ x1，y₁=λ（y₀-y₁），

p

2

-x2=μ (x1-

p

2

)，y₂=-μy₁，
∴y₂²=μ²y₁²，
∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂．
∴x₂=μ²x₁，
代入

p

2

-x2=μ (x1-

p

2

)
得

p

2

-μ2x1=μ(x1-

p

2

)，即

p

2

(1+μ )=x1μ (1+μ )
整理，得x1=

p

2μ

代入x1-

p

2

=-λ x1，得

p

2μ

-

p

2

=

-λ p

2μ

∴

1

μ

=1-

λ

μ

∵

λ

μ

∈[

1

4

，

1

2

]
∴

1

μ

∈[

1

2

，

3

4

]
∴μ∈[

4

3

，2]
故选 B

点评：本题主要考查了直线与抛物线的关系，向量与解析几何的综合应用，求变量取值范围问题的解法，利用已知向量式得到λ和μ间的等式是解决问题的关键