Question

【题目】已知数列是以为公差的等差数列，数列是以为公比的等比数列.

（1）若数列的前项和为，且，，求整数的值；

（2）若，，，试问数列中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续项的和？请说明理由；

（3）若，，（其中，且是的约数），求证：数列中每一项都是数列中的项.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）由等差等比数列的表达式an=2n，bn=2qn-1，代入S3<a1003+5b2-2010直接求解即得到答案．

（2）可以先假设数列{bn}中存在一项bk，满足bk=bm+bm+1+bm+2++bm+p-1，再根据已知的条件去验证，看是否能找出矛盾．如果没有矛盾即存在，否则这样的项bk不存在；

（3）由已知条件b1=ar，得b2=b1q=arq=as=ar+(s-r)d，结合等差等比数列的性质，可证数列中每一项是否都是数列中的项．

(1)由题意知，an=2n，bn=2qn-1，

∴由S3<a1003+5b2-2010，

可得到b1+b2+b3<a1003+5b2-2010b1-4b2+b3<2006-2010q2-4q+3<0．

解得1<q<3，

又q为整数，

∴q=2

(2)假设数列{bn}中存在一项bk，满足bk=bm+bm+1+bm+2+…+bm+p-1，

∵bn=2n，

∴bk>bm+p-12k>2m+p-1k>m+p-1k≥m+p①

又

=2m+p-2m<2m+p，

∴k<m+p，此与①式矛盾．

∴这样的项bk不存在；

(3)由b1=ar，得b2=b1q=arq=as=ar+(s-r)d，

则

又，

从而，

∵as≠arb1≠b2，

∴q≠1，又ar≠0，

故．

又t>s>r，且(s-r)是(t-r)的约数，

∵q是整数，且q≥2，

对于数列中任一项bi(这里只要讨论i>3的情形)，

有bi=arqi-1=ar+ar(qi-1-1)

=ar+ar(q-1)(1+q+q2+…+qi-2)

=ar+d(s-r)(1+q+q2+…+qi-2)

=ar+[((s-r)(1+q+q2+…+qi-2)+1)-1]d，

由于(s-r)(1+q+q2+…+qi-2)+1是正整数，

∴bi一定是数列的项．

故得证．