Question

过正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的中心O与棱AB，AD，AA₁所在直线都成等角的平面个数是（　　）

A．1

B．2

C．4

D．8

Answer 1

分析：根据正方体的性质结合直线与平面所成角的定义与性质，证出平面A₁BD、平面AD₁C、平面AD₁B₁和平面AB₁C都与棱AB、AD、AA₁所在直线成等角．因此分别经过O作上述平面的平行平面，得到的平面都与棱AB、AD、AA₁所在直线成等角，由此得到答案．

解答：解：根据两个平行的平面与同一条直线所成角相等，可先找出与棱AB、AD、AA₁所在直线都成等角的平面，
再过正方体的中心O作该平面的平行平面，就可得到满足条件的平面．
①连结A₁B、A₁D、BD，可得三棱锥A-A₁BD是正三棱锥，
所以平面A₁BD与棱AB、AD、AA₁所在直线成等角；
②连结AD₁、AC、CD₁，由于线段A₁D的中点在平面AD₁C内，所以A₁、D到平面AD₁C的距离相等．
根据直线与平面所成角的定义与性质，得到AD、AA₁所在直线与平面AD₁C的所成角相等．
同理得到AB、AD所在直线与平面AD₁C的所成角相等，由此得到平面AD₁C与棱AB、AD、AA₁所在直线成等角；
类似地得到平面AD₁B₁和平面AB₁C都是与棱AB、AD、AA₁所在直线成等角的平面．
综上所述，经过正方体的中心O，分别作平面A₁BD、平面AD₁C、平面AD₁B₁和平面AB₁C的平行平面，得到的平面都与棱AB、AD、AA₁所在直线成等角，得到4个满足条件的平面．
故选：C

点评：本题给出正方体，求经过它的中心作与各棱都成等角的平面的个数．着重考查了正方体的性质结合直线与平面所成角的定义与性质等知识，属于中档题．