Question

已知向量

a

=(2cosx，sinx)，

b

=(sinx，2sinx)定义f(x)=

a

•

b

-1．
（1）求函数y=f（x），x∈R的单调递减区间；
（2）若函数y=f(x+θ)，(

π

2

＜θ≤π)为偶函数，求θ的值．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式，以及三角函数的恒等变换化简函数的解析式为

2

sin（2x-

π

4

），根据 2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z求出函数的减区间．
（2）由题意可得 y=

2

sin[2（x+θ）-

π

4

]为偶函数，再由

π

2

＜θ≤π 可得 2θ-

π

4

=

3π

2

，由此求得 θ的值．

解答：解：（1）函数y=f（x）=

a

•

b

-1=2sinxcosx+2sin²x-1=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

）．
令 2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得  kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

，k∈z．
故函数的减区间为[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，k∈z．
（2）若函数y=f(x+θ)，(

π

2

＜x≤π) 为偶函数，则y=

2

sin[2（x+θ）-

π

4

]=

2

sin（2x+2θ-

π

4

）为偶函数．
再由

π

2

＜θ≤π 可得 2θ-

π

4

=

3π

2

，
∴θ=

7π

8

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性，属于中档题．