Question

设x，y，z∈R且x+2y+3z=1
（I）当z=1，|x+y|+|y+1|＞2时，求x的取值范围；
（II）当x＞0，y＞0，z＞0时，求u=

x2

x+1

+

2y2

y+2

+

3z2

z+3

的最小值．

Answer 1

分析：（I）利用条件化二元为一元，再解不等式，即可求x的取值范围；
（II）利用柯西不等式，即可求得u的最小值．

解答：解：（I）当z=1时，∵x+2y+3z=1，∴x+2y=-2，即y=

-2-x

2

∴|x+y|+|y+1|＞2可化简|x-2|+|x|＞4，
∴x＜0时，-x+2-x＞4，∴x＜-1；
0≤x≤2时，-x+2+x＞4不成立；
x＞2时，x-2+x＞4，∴x＞3
综上知，x＜-1或x＞3；
（II）∵（

x2

x+1

+

2y2

y+2

+

3z2

z+3

）[（x+1）+2（y+2）+3（z+3）]≥（x+2y+3z）²
∴（

x2

x+1

+

2y2

y+2

+

3z2

z+3

）（x+2y+3z+14）≥（x+2y+3z）²，
∴

x2

x+1

+

2y2

y+2

+

3z2

z+3

≥

1

15

∴u≥

1

15

，当且仅当

x

x+1

=

y

y+2

=

z

z+3

，又x+2y+3z=1，即x=

1

14

，y=

1

7

，z=

3

14

时，u_min=

1

15

．

点评：本题考查解不等式，考查函数的最值，正确运用柯西不等式是关键．