Question

17．已知f（x）是定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的偶函数，在区间（-∞，0）上单调递减，且f（-$\frac{1}{2}$）=0，若x•[f（x）+f（-x）]＜0，则x的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可．

解答 解：∵函数是偶函数函数，
∴不等式x•[f（x）+f（-x）]＜0等价为2x•f（x）＜0，
∵在区间（-∞，0）上单调递减，且f（-$\frac{1}{2}$）=0，
∴在区间（0，+∞）上单调递增，且f（$\frac{1}{2}$）=0，
则对应的图象如图：
当x＞0，f（x）＜0，由图象知此时0＜x＜$\frac{1}{2}$，
当x＜0，f（x）＞0，x＜-$\frac{1}{2}$，
综上不等式的解集为（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（0，$\frac{1}{2}$），
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（0，$\frac{1}{2}$）

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键．