Question

1．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=$\frac{x-2}{x+1}$，若对任意实数$t∈[{\frac{1}{2}，2}]$，都有f（t+a）-f（t-1）＞0恒成立，则实数a的取值范围是（-∞，-3）∪（0，+∞）．

Answer 1

分析 由分离常数法化简解析式，并判断出函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，由偶函数的性质将不等式化为：f（|t+a|）＞f（|t-1|），利用单调性得|t+a|＞|t-1|，化简后转化为：对任意实数t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有（2a+2）t+a²-1＞0恒成立，根据关于t的一次函数列出a的不等式进行求解．

解答 解：∵当x＞0时，f（x）=$\frac{x-2}{x+1}$=1-$\frac{3}{x+1}$，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
由f（t+a）-f（t-1）＞0得，f（t+a）＞f（t-1），
又f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（|t+a|）＞f（|t-1|），则|t+a|＞|t-1|，
两边平方得，（2a+2）t+a²-1＞0，
∵对任意实数t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（t+a）-f（t-1）＞0恒成立，
∴对任意实数t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有（2a+2）t+a²-1＞0恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（2a+2）+{a}^{2}-1＞0}\\{2（2a+2）+{a}^{2}-1＞0}\end{array}\right.$，化简得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+a＞0}\\{{a}^{2}+4a+3＞0}\end{array}\right.$，
解得，a＞0或a＜-3，
则实数a的取值范围是（-∞，-3）∪（0，+∞）．
故答案为：（-∞，-3）∪（0，+∞）．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及恒成立的转化问题，二次不等式的解法，属于中档题