Question

在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=BC=BB₁，D为AC的中点，

   （1）求证：B₁C∥平面A₁BD；

   （2）若AC₁⊥平面A₁BD，二面角B—A₁C₁—D的余弦值.

Answer 1

（1）证明见解析 （2）

解析:

（1）连结AB₁交于A₁B于点E，连结ED.

    ∵侧面ABB₁A₁是正方形  ∴E是AB₁的中点

    又∵D是AC的中点  ∴ED∥B₁C

    ∴B₁C∥平面A₁BD………………4分

   （2）取A₁C₁的中点G，连结DG，则DG⊥A₁C₁

    ∵AB=BC   ∴BD⊥AC  ∴BD⊥平面A₁C₁D

    ∴BG⊥A₁C₁

    ∴∠BGD为二面角B—A₁C₁—D的平面角………………8分

    ∵AC₁⊥平面A₁BD，∴AC₁⊥BD，又∵CC₁⊥平面ABCD，且AC₁在平面ABC的射影为AC，∴AC⊥BD

    ∵AB=BC且D为AC中点，∴AB⊥BC   且BD=AB

    又∵DG=A₁A=AB

    ∴BG=AB    ∴……………………12分