Question

【题目】如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是边长为2的正三角形， , .

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）设是棱上的点，当平面时，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.

【解析】试题分析：

(1)由题意可证得平面，利用面面垂直的判断定理即可证得平面平面.

(2)建立空间直角坐标系，结合平面的法向量和题意可得二面角的余弦值是.

试题解析：

（1）取中点，连接， ，因为是边长为2的正三角形，所以， ，

∵，∴， ，

∴，

∴，∴平面，

∵平面，∴平面平面.

（2）连接交于，连接，

∵平面，∴，

又为的中点，∴为的中点.

以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，

则， ， ， ， ， .

设平面的一个法向量为，

由得取，得.　

由图可知，平面的一个法向量，

∴，

∴二面角的余弦值为.