Question

函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，并且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）是R上的增函数；
（2）若f（4）=5，解不等式f（3m²-m-2）＜3．

Answer 1

分析：（1）先任取x₁＜x₂，x₂-x₁＞0．由当x＞0时，f（x）＞1．得到f（x₂-x₁）＞1，再对f（x₂）按照f（a+b）=f（a）+f（b）-1变形得到结论．
（2）由f（4）=f（2）+f（2）-1求得f（2）=3，再将f（3m²-m-2）＜3转化为f（3m²-m-2）＜f（2），由（1）中的结论，利用单调性求解．

解答：解：（1）证明：任取x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0．
∴f（x₂-x₁）＞1．
∴f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]
=f（x₁）+f（x₂-x₁）-1＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函数．
（2）∵f（4）=f（2）+f（2）-1=5，
∴f（2）=3．
∴f（3m²-m-2）＜3=f（2）．
又由（1）的结论知，f（x）是R上的增函数，
∴3m²-m-2＜2，
3m²-m-4＜0，
∴-1＜m＜

4

3

．

点评：本题主要考查抽象函数的单调性证明和利用单调性定义解抽象不等式，属于中档题．