Question

已知函数的值域为A，定义在A上的函数f（x）=x^-2-x²（x∈A）．
（1）求集合A，并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（3）解不等式f（3x+1）＜f（5x+1）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由x²＞0，0＜＜1，可求得函数的值域A，利用奇偶函数的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；
（2）设-1＜x₁＜x₂＜0，作差后化积f（x₁）-f（x₂）=（-）（1+），判断积的符号即可；
（3）利用（2）中所证的单调性与其定义域为A可列关于x的不等式组，解之即可．
解答：解：（1）∵x²＞0，
∴0＜＜1，-1＜＜0，
即A={x|-1＜x＜0}．
∵函数f（x）=x^-2-x²（x∈A），而A={x|-1＜x＜0}，不关于原点对称，
∴f（x）是非奇非偶函数；
（2）证明：设-1＜x₁＜x₂＜0，
f（x₁）-f（x₂）=--（-）=+（-）
=（-）（1+）．
∵-1＜x₁＜x₂＜0，
∴＞，＞0，
∴（-）（1+）＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在（-1，0）上是增函数．
（3）∵f（3x+1）＜f（5x+1），
∴解得：x∈∅．
点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合，着重考查函数奇偶性与单调性的定义及其综合应用，综合性强，属于难题．