Question

（2013•延庆县一模）设县x，y满足约束条件

x+y≥1 x-2y≥-2 3x-2y≤3

，若z=x²+4y²，则z的取值范围是

[

4

5

，

53

2

]

．

Answer 1

分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x²+4y²表示中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，研究当长轴变化时，z的变化情况即可求得z的取值范围．

解答：解：根据约束条件画出可行域
z=x²+4y²表示中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，如图．
当此椭圆与直线x+y=1相切时，z=x²+4y²最小，
由

z=x2+4y2 x+y=1

消去x得：5y²-2y+1-z=0，
△=0得z=

4

5

，即最小距离为

4

5

，
当此椭圆过点A（

5

2

，

9

4

）时，z=x²+4y²最大，最大为z=（

5

2

）²+4（

9

4

）²=

53

2

．
故答案为：[

4

5

，

53

2

]．

点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．