Question

16．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA₁⊥AC₁
（1）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求以△ABA₁为底面的三棱锥C-ABA₁的高．

Answer 1

分析 （1）欲证AC₁⊥平面A₁BC，需要从平面A₁BC中找出两条相交线与AC₁垂直，由图形知，可证BC⊥AC₁，又BA₁⊥AC₁．由线面垂直的定理即可得．
（2）求C到平面A₁AB的距离，本小题拟采用向量法求解，建立空间坐标系，求出平面A₁AB的法向量，以及$\overrightarrow{C{A}_{1}}$，求$\overrightarrow{C{A}_{1}}$在平面法向量上的投影即可得到点到面的距离．

解答 解：（1）证明：因为A₁在底面ABC上的射影为AC的中点D，
所以平面A₁ACC₁⊥平面ABC，
∵BC⊥AC且平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面A₁ACC₁∴BC⊥AC₁
∵AC₁⊥BA₁且BC₁∩BA₁=B，
∴AC₁⊥平面A₁BC．
（2）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，
∵AC₁⊥平面A₁BC，
∴AC₁⊥A₁C，
∴四边形A₁ACC₁是菱形，
∵D是AC的中点，
∴∠A₁AD=60°．
∴A（2，0，0）A₁（1，0，$\sqrt{3}$），
B（0，2，0）C₁（-1，0，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}A}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（-2，2，0），
设平面A₁AB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}z}\\{x=y}\end{array}\right.$，令z=1，
∴$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，1），
∵$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（1，0，$\sqrt{3}$），
∴d=$\frac{|\overrightarrow{C{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
∴C到平面A₁AB的距离为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，点到面距离的求法，由解题过程可以看出，用向量法求点到面的距离是一个很实用的方法，解题中要善于运用，在求解此类题时，求面的法向量是一个重点，要学会怎么赋值，属于中档题．