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4.已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-2}-1,x≥0}\\{x+2,x<0}\end{array}\right.$,g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x,x≥0}\\{\frac{1}{x},x<0}\end{array}\right.$,则方程f[g(x)]-1=0的根有3或1或-1.

分析 由f[g(x)]-1=0得f[g(x)]=1,利用换元法设t=g(x),则f(t)=1,先求出t的值,然后结合t=g(x)的值,即可得到结论.

解答 解:由f[g(x)]-1=0得f[g(x)]=1,
设t=g(x),则f(t)=1,
若t≥0,则由f(t)=2t-2-1=1,得2t-2=2,即t-2=1,则t=3,
若t<0,则由f(t)=t+2=1,得t=-1,
若t=3或t=-1,

若t=3,
当x≥0由g(x)=x2-2x=3得x2-2x-3=0得x=3或x=-1(舍)
当x<0由g(x)=$\frac{1}{x}$=3得x=$\frac{1}{3}$(舍),
若t=-1,
当x≥0由g(x)=x2-2x=-1得x2-2x+1=0得x=1,
当x<0由g(x)=$\frac{1}{x}$=-1得x=-1,
综上x=3或x=1或x=-1,

即,方程f[g(x)]-1=0的根有3或1或-1,
故答案为:3或1或-1

点评 本题主要考查分段函数的应用,利用分类讨论以及数形结合,利用换元法将复合函数进行转化是解决本题的关键.

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