Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，设F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上任意一个动点M到左焦点F₁的距离的最大值 为$\sqrt{2}$+1
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线L的斜率为k，且过左焦点F₁，与椭圆C相交于P、Q两点，若△PQF₂的面积为$\frac{\sqrt{10}}{3}$，试求k的值及直线L的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a+c=$\sqrt{2}+1$，可得a、b、c；
（Ⅱ）联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+1）\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$化简，结合韦达定理求解求得PQ，用距离公式得点F₂到直线l的距离d，s_△PQF2=$\frac{1}{2}$|PQ|•d=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，即可求得k．

解答 解：（Ⅰ）$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a+c=$\sqrt{2}+1$∴$a=\sqrt{2}c，c=1，a=\sqrt{2}$．椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）F₁（-1，0），F₂（1，0），直线l：y=k（x+1），
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+1）\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$得：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$．
$|{PQ}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\frac{{2\sqrt{2}（1+{k^2}）}}{{1+2{k^2}}}$，
点F₂到直线l的距离$d=\frac{2|k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
∴s_△PQF2=$\frac{1}{2}$|PQ|•d=$\frac{\sqrt{10}}{3}$
化简得：16k⁴+16k²-5=0，
（4k²+5）（4k²-1）=0，∴k²=$\frac{1}{4}$，k=±$\frac{1}{2}$
∴直线l的方程为x±2y+1=0．

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了基本运算能力，属于中档题．