Question

20．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1有公共顶点，且双曲线C经过点A（6，$\sqrt{5}$）．
（1）求双曲线C的方程，并写出渐近线方程；
（2）若点P是双曲线C上一点，且P到右焦点的距离为6，求P到左准线的距离．

Answer 1

分析 （1）设出双曲线C方程为$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{b^2}=1（b＞0）$，将点$（6，\sqrt{5}）$代入曲线C，解得b²，求出双曲线C的方程，即可情况渐近线方程．
（2）由（1）得双曲线C的右焦点，左准线，设P（x_P，y_P）（|x_p|≥4）因为m+2=5到右焦点的距离为6，P在双曲线C上，得到方程组，求出${x_P}=4\sqrt{5}$，然后求解点到左准线的距离．

解答 解：（1）因为双曲线m=3与双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$有公共顶点，
所以双曲线C方程为$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{b^2}=1（b＞0）$…（2分）
将点$（6，\sqrt{5}）$代入曲线C的方程得到$\frac{36}{16}-\frac{5}{b^2}=1$，解得b²=4…（4分）
所以双曲线C的方程为$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$，渐近线方程为$y=±\frac{1}{2}x$…（6分）
（2）由（1）得双曲线C的右焦点为$（2\sqrt{5}，0）$，左准线为$x=-\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$，
设P（x_P，y_P）（|x_p|≥4）因为m+2=5到右焦点的距离为6，${（{x_P}-2\sqrt{5}）^2}+{y_P}^2=36$…（8分）
又因为P在双曲线C上，所以$\frac{{{x_P}^2}}{16}-\frac{{{y_P}^2}}{4}=1$
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{（{x_P}-2\sqrt{5}）^2}+{y_P}^2=36\\ \frac{{{x_P}^2}}{16}-\frac{{{y_P}^2}}{4}=1\end{array}\right.$，得${x_P}=4\sqrt{5}$或${x_P}=-\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$（舍去）．．（11分）
所以点P到左准线的距离$d=4\sqrt{5}-（-\frac{{8\sqrt{5}}}{5}）=\frac{{28\sqrt{5}}}{5}$…（14分）
（若利用圆锥曲线的共同性质解答同样给分）

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力．