Question

（09年宣武区二模理）（13分）

如图，在正三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，BB­₁=BC=2，且M是BC的中点，点N在CC₁上。

   （1）试确定点N的位置，使AB₁⊥MN；

   （2）当AB₁⊥MN时，求二面角M―AB₁―N的大小。

Answer 1

解析：解法1：（1）连结MA、B₁M，过M作MN⊥B₁M，且MN交CC₁点N，

在正△ABC中，AM⊥BC，

又∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，

平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，

∴AM⊥平面BB₁C₁C，

∵MN平面BB₁C₁C，

∴MN⊥AM。

∵AM∩B₁M=M，

∴MN⊥平面AMB₁，∴MN⊥AB₁。

∵在Rt△B₁BM与Rt△MCN中，

即N为C₁C四等分点（靠近点C）。  ……………………6分

   （2）过点M作ME⊥AB₁，垂足为R，连结EN，

由（1）知MN⊥平面AMB₁，

∴EN⊥AB₁，

∴∠MEN为二面角M―AB₁―N的平面角。

∵正三棱柱ABC―A₁B₁C₁，BB₁=BC=2，

解法2：（1）以点M为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

∴N点是C₁C的四等分点（靠近点C）。  ………………6分

   （2）∵AM⊥BC，平面ABC⊥平面BB₁C₁C，

且平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，

∴AM⊥平面BB₁C₁C，

∵MN平面BB₁C₁ C，∴AM⊥MN，

∵MN⊥AB₁，∴MN⊥平面AMB₁，