Question

设a，b∈R且a≠2，函数f(x)=lg

1+ax

1+2x

在区间（-b，b）上是奇函数．
（Ⅰ）求ab的取值集合；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在 （-b，b）上的单调性．

Answer 1

（I）函数f(x)=lg

1+ax

1+2x

在区间（-b，b）内是奇函数
∴对任意x∈（-b，b）都有f（-x）+f（x）=0，
∴lg

1-ax

1-2x

+lg

1+ax

1+2x

=lg

1-a2x2

1-4x2

=0
即

1-a2x2

1-4x2

=1
即a²x²=4x²，此式对任意x∈（-b，b）都成立
∴a²=4
又∵a≠2，∴a=-2
代入

1+ax

1+2x

，得

1-2x

1+2x

＞0，即-

1

2

＜x＜

1

2

此式对任意x∈（-b，b）都成立，相当于-

1

2

＜-b＜b＜

1

2

所以b的取值范围是（0，

1

2

]
∴ab的取值集合为[-1，0）
（II）设任意的x₁，x₂∈（-b，b），且x₁＜x₂，由b∈（0，

1

2

]得
所以0＜1-2x₂＜1-2x₁，0＜1+2x₁＜1+2x₂
从而f（x₂）-f（x₁）=lg

1-2x2

1+2x2

-lg

1-2x1

1+2x1

=lg

(1-2x2)(1+2x1)

(1+2x2)(1-2x1)

＜lg1=0
∴f（x₂）＜f（x₁）
因此f（x）在（-b，b）内是减函数?