已知、分别是椭圆的左、右焦点,右焦点到上顶点的距离为2,若.
(Ⅰ)求此椭圆的方程;
(Ⅱ)点是椭圆的右顶点,直线与椭圆交于、两点(在第一象限内),又、是此椭圆上两点,并且满足,求证:向量与共线.
(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
解析试题分析:(Ⅰ)求此椭圆的方程,由题意到上顶点的距离为2,即,,再由,即可求出,从而得椭圆的方程;(Ⅱ)求证:向量与共线,即证,由于点是椭圆的右顶点,可得,直线与椭圆交于、两点(在第一象限内),可由,解得,得,只需求出直线的斜率,由题意,而与的平分线平行,可得的平分线垂直于轴,设的斜率为,则的斜率;因此和的方程分别为:、;其中;分别代入椭圆方程,得的表达式,从而可得直线的斜率,从而可证.
试题解析:(Ⅰ)由题知:
(Ⅱ)因为:,从而与的平分线平行,
所以的平分线垂直于轴;
由不妨设的斜率为,则的斜率;因此和的方程分别为:、;其中; 由得;,因为在椭圆上;所以是方程的一个根;
从而; 同理:;得,
从而直线的斜率;又、;所以;所以所以向量与共线.
考点:椭圆方程,直线与椭圆位置关系.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:的离心率为,右焦点为,右顶点在圆:上.
(Ⅰ)求椭圆和圆的方程;
(Ⅱ)已知过点的直线与椭圆交于另一点,与圆交于另一点.请判断是否存在斜率不为0的直线,使点恰好为线段的中点,若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
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已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为,点是点关于轴的对称点,过点的直线交抛物线于两点。
(Ⅰ)试问在轴上是否存在不同于点的一点,使得与轴所在的直线所成的锐角相等,若存在,求出定点的坐标,若不存在说明理由。
(Ⅱ)若的面积为,求向量的夹角;
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如图所示,已知圆为圆上一动点,点是线段的垂直平分线与直线的交点.
(1)求点的轨迹曲线的方程;
(2)设点是曲线上任意一点,写出曲线在点处的切线的方程;(不要求证明)
(3)直线过切点与直线垂直,点关于直线的对称点为,证明:直线恒过一定点,并求定点的坐标.
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已知曲线上任意一点到直线的距离是它到点距离的倍;曲线是以原点为顶点,为焦点的抛物线.
(Ⅰ)求,的方程;
(Ⅱ)过作两条互相垂直的直线,其中与相交于点,与相交于点,求四边形面积的取值范围.
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已知双曲线,、是双曲线的左右顶点,是双曲线上除两顶点外的一点,直线与直线的斜率之积是,
求双曲线的离心率;
若该双曲线的焦点到渐近线的距离是,求双曲线的方程.
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在直角坐标系中,为坐标原点,如果一个椭圆经过点P(3,),且以点F(2,0)为它的一个焦点.
(1)求此椭圆的标准方程;
(2)在(1)中求过点F(2,0)的弦AB的中点M的轨迹方程.
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在平面直角坐标系中,点为动点,、分别为椭圆的左、右焦点.已知为等腰三角形.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设直线与椭圆相交于、两点,是直线上的点,满足,求点的轨迹
方程.
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