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已知分别是椭圆的左、右焦点,右焦点到上顶点的距离为2,若.
(Ⅰ)求此椭圆的方程;
(Ⅱ)点是椭圆的右顶点,直线与椭圆交于两点(在第一象限内),又是此椭圆上两点,并且满足,求证:向量共线.

(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.

解析试题分析:(Ⅰ)求此椭圆的方程,由题意到上顶点的距离为2,即,再由,即可求出,从而得椭圆的方程;(Ⅱ)求证:向量共线,即证,由于点是椭圆的右顶点,可得,直线与椭圆交于两点(在第一象限内),可由,解得,得,只需求出直线的斜率,由题意,而的平分线平行,可得的平分线垂直于轴,设的斜率为,则的斜率;因此的方程分别为:;其中;分别代入椭圆方程,得的表达式,从而可得直线的斜率,从而可证.
试题解析:(Ⅰ)由题知:
(Ⅱ)因为:,从而的平分线平行,
所以的平分线垂直于轴;
不妨设的斜率为,则的斜率;因此的方程分别为:;其中; 由得;,因为在椭圆上;所以是方程的一个根;
从而;    同理:;得,
从而直线的斜率;又;所以;所以所以向量共线.
考点:椭圆方程,直线与椭圆位置关系.

练习册系列答案
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