已知函数
(1)求的单调区间和极值;
(2)当m为何值时,不等式 恒成立?
(3)证明:当时,方程内有唯一实根.
(e为自然对数的底;参考公式:.)
(1)内是减函数,在(1-m,+∞)内是增函数,当等于1-m时,函数有极小值1-m.(2)m≤1.(3) 详见解析.
解析试题分析:(1)求导即得.(2)要不等式 恒成立,只需的最小值≥0即可.(3) 要证明方程内有唯一实根,需要证明以下两点:第一、在上是单调函数,第二、.
试题解析:(1).
∵ 2分
∴内是减函数,在(1-m,+∞)内是增函数,当等于1-m时,函数有极小值1-m. 4分
(2)由(1)知,在定义域内只有一个极值点,所以的最小值就是1-m,从而当1-m≥0时,不等式≥0恒成立 6分
故所求的实数m的取值范围是m≤1. 8分
(3)∵m>1,. 9分
又 10分
∵
∴. 12分
根据第1小问的结论,在(1-m,+∞)内是增函数,因此,方程在区间内有唯一的实根 13分
考点:1、导数的应用;2、函数的零点(方程的根);3不等式.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为元,则销售量(单位:件)与零售价(单位:元)有如下关系:,问该商品零售价定为多少元时毛利润最大,并求出最大毛利润.(毛利润销售收入进货支出)
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数.
(1)若函数与的图象在公共点P处有相同的切线,求实数的值及点P的坐标;
(2)若函数与的图象有两个不同的交点M、N,求实数的取值范围 .
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