Question

（1）已知矩阵M=

2a 21

，其中a∈R，若点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点P'（-4，0）
（i）求实数a的值；
（ii）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．
（2）在平面直角坐标系xOy中，动圆x²+y²-8xcosθ-6ysinθ+7cos²θ+8=0（a∈R）的圆心为P（x₀，y₀），求2x₀-y₀的取值范围．
（3）已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，a²+

1

4

b2+

1

9

c2+m-1=0．
①求证：a²+

1

4

b2+

1

9

c2≥

(a+b+c)2

14

；
②求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）（i）点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点P'（-4，0），利用二阶矩阵与平面列向量的乘法可求实数a的值；
（ii）先求矩阵M的特征多项式f（λ），令f（λ）=0，从而可得矩阵M的特征值，进而可求特征向量．
（2）先将圆的一般式方程转化成圆的标准方程，从而求出圆心的参数方程，利用参数方程将2x+y表示成8cosθ-3sinθ，然后利用辅助角公式求出8cosθ-3sinθ的取值范围即可；
（3）①根据柯西不等式直接证明即可；
②将①中的a、b、c用等式a+b+c+2-2m=0，a²+

1

4

b2+

1

9

c2+m-1=0．代入，消去a、b、c得到关于m的不等关系，解之即可求出m的范围．

解答：解：（1）（i）由

2 a 2 1

1 -2

=

-4 0

，∴2-2a=-4⇒a=3．
（ii）由（i）知M=

2 3 2 1

，则矩阵M的特征多项式为
f（λ）=

λ-2 3 2 λ-1

=（λ-2）（λ-1）-6=λ²-3λ-4
令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为-1与4．
当λ=-1时，

(λ-2)x-3y=0 -2x+(λ-1)y=0

⇒x+y=0
∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为

1 -1

；
当λ=4时，

(λ-2)x-3y=0 -2x+(λ-1)y=0

⇒2x-3y=0
∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为

3 2

．
（2）将圆的方程整理得：（x-4cosθ）²+（y-3sinθ）²=1
由题设得 x₀=4cosθ，y₀=3sinθ（θ为参数，θ∈R）．
所以2x₀-y₀=8cosθ-3sinθ=

73

cos（θ+φ），
所以-

73

≤2x₀-y₀≤

73

．
（3）：①根据柯西不等式可得（a²+

b2

4

+

c2

9

）（1+2²+3²）≥（a×1+

b

2

×2+

c

3

×3）²=（a+b+c）²
∴a2+

1

4

b2+

1

9

c2≥

(a+b+c)2

14

．
②∵a+b+c+2-2m=0，a²+

b2

4

+

c2

9

+m-1=0
∴1-m≥

(2m-2)2

14

解得：-

5

2

≤m≤1．

点评：（1）本小题主要考查二阶矩阵与平面列向量的乘法，考查矩阵M的特征值及其对应的特征向量． 关键是写出特征多项式，从而求得特征值．
（2）本题主要考查了圆的方程，以及三角函数模型的应用问题和辅助角公式的应用，同时考查了计算能力，属于基础题．（3）本题主要考查来了逆矩阵与投影变换，以及圆的参数方程和直线的参数方程，以及不等式的证明等基础知识，是一道综合题，属于中档题．