Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+S_n=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证数列{a_n}中不存在三项按原来顺序成等差数列．

Answer 1

分析：（1）由条件，再写一式，两式相减，可得{a_n}是首项为1，公比为

1

2

的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用反证法，假设存在三项按原来顺序成等差数列，从而引出矛盾，即可得到结论．

解答：（1）解：当n=1时，a₁+S₁=2a₁=2，则a₁=1．
又a_n+S_n=2，所以a_n+1+S_n+1=2，两式相减得a_n+1=

1

2

a_n，
所以{a_n}是首项为1，公比为

1

2

的等比数列，
所以a_n=

1

2n-1

．
（2）证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a_p+1，a_q+1，a_r+1（p＜q＜r，且p，q，r∈N^*），则2•

1

2q

=

1

2p

+

1

2r

，所以2•2^r-q=2^r-p+1．①
又因为p＜q＜r，所以r-q，r-p∈N^*．
所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．