【题目】如图,平面平面
,四边形
和
是全等的等腰梯形,其中
,且
,点
为
的中点,点
是
的中点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)请在图中所给的点中找出两个点,使得这两点所在的直线与平面垂直,并给出证明;
(Ⅲ)在线段上是否存在点,使得
平面
?如果存在,求出
的长度;如果不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析 (Ⅲ)见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)由四边形是等腰梯形,点
为
的中点,点
是
的中点,得
,从而可证
平面
;(Ⅱ)依题意可证
,再根据
可证
为菱形,即可证
;(Ⅲ)假设存在点
,使得
∥平面
,可证
为平行四边形,从而推出
∥平面
,即可证
∥平面
,则
为平行四边形,从而推出矛盾,即可得出结论.
试题解析:(Ⅰ)∵四边形是等腰梯形,点
为
的中点,点
是
的中点
∴
又∵平面平面
,平面
平面
∴平面
(Ⅱ) 点为所求的点
∵平面
∴
又∵,且
∴为菱形
∴
∵,
∴平面
(Ⅲ)假设存在点,使得
∥平面
由,所以
为平行四边形,
∴∥
∵平面
∴∥平面
又∵
∴平面∥平面
,
∴∥平面
∴∥
,
∴为平行四边形
∴,矛盾,
∴不存在点,使得
∥平面
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标,某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花,为了评价该品种的棉花质量,在棉花成熟后,分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取20根棉花纤维进行统计,结果如下表:(记纤维长度不低于300mm的为“长纤维”,其余为“短纤维”)
纤维长度 | (0,100) | [100,200) | [200,300) | [300,400) | [400,500] |
甲地(根数) | 3 | 4 | 4 | 5 | 4 |
乙地(根数) | 1 | 1 | 2 | 10 | 6 |
(1)由以上统计数据,填写下面2×2列联表,并判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.
甲地 | 乙地 | 总计 | |
长纤维 | |||
短纤维 | |||
总计 |
附:(1) ;(2)临界值表;
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(2)现从上述40根纤维中,按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测,在这8根纤维中,记乙地“短纤维”的根数为X,求X的分布列及数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形,侧面PAD是边长为2的正三角形,AB=BD= ,PB=
(Ⅰ)求证:平面PAD⊥平面ABCD;
(Ⅱ)设Q是棱PC上的点,当PA∥平面BDQ时,求二面角A﹣BD﹣Q的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】春节期间,受烟花爆竹集中燃放影响,我国多数城市空气中PM2.5浓度快速上升,特别是在大气扩散条件不利的情况下,空气质量在短时间内会迅速恶化.2017年除夕18时和初一2时,国家环保部门对8个城市空气中PM2.5浓度监测的数据如表(单位:微克/立方米).
除夕18时PM2.5浓度 | 初一2时PM2.5浓度 | |
北京 | 75 | 647 |
天津 | 66 | 400 |
石家庄 | 89 | 375 |
廊坊 | 102 | 399 |
太原 | 46 | 115 |
上海 | 16 | 17 |
南京 | 35 | 44 |
杭州 | 131 | 39 |
(Ⅰ)求这8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值;
(Ⅱ)环保部门发现:除夕18时到初一2时空气中PM2.5浓度上升不超过100的城市都是“禁止燃放烟花爆竹“的城市,浓度上升超过100的城市都未禁止燃放烟花爆竹.从以上8个城市中随机选取3个城市组织专家进行调研,记选到“禁止燃放烟花爆竹”的城市个数为X,求随机变量y的分布列和数学期望;
(Ⅲ)记2017年除夕18时和初一2时以上8个城市空气中PM2.5浓度的方差分别为s12和s22 , 比较s12和s22的大小关系(只需写出结果).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=pe﹣x+x+1(p∈R). (Ⅰ)当实数p=e时,求曲线y=f(x)在点x=1处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)当p=1时,若直线y=mx+1与曲线y=f(x)没有公共点,求实数m的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知MOD函数是一个求余函数,记MOD(m,n)表示m除以n的余数,例如MOD(8,3)=2.如图是某个算法的程序框图,若输入m的值为48时,则输出i的值为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,在直角梯形中,
,
,且
.现以
为一边向形外作正方形
,然后沿边
将正方形
翻折,使平面
与平面
垂直,
为
的中点,如图2.
(1)求证:平面
;
(2)求证:平面
;
(3)求三棱锥的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】数学名著《算学启蒙》中有如下问题:“松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.”如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b的值分别为16,4,则输出的n的值为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R。
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)存在极点x0 , 且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0 , 求证:x1+2x0=3;
(3)设a>0,函数g(x)=∣f(x)∣,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于
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