Question

【题目】如图，平面平面，四边形和是全等的等腰梯形，其中，且，点为的中点，点是的中点.

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面垂直，并给出证明；

（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求出的长度；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 （Ⅲ）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）由四边形是等腰梯形，点为的中点，点是的中点，得，从而可证平面；（Ⅱ）依题意可证 ，再根据可证为菱形，即可证；（Ⅲ）假设存在点，使得∥平面，可证为平行四边形，从而推出∥平面，即可证∥平面，则为平行四边形，从而推出矛盾，即可得出结论.

试题解析：（Ⅰ）∵四边形是等腰梯形，点为的中点，点是的中点

∴

又∵平面平面，平面平面

∴平面

（Ⅱ） 点为所求的点

∵平面

∴

又∵，且

∴为菱形

∴

∵，

∴平面

（Ⅲ）假设存在点，使得∥平面

由，所以为平行四边形，

∴∥

∵平面

∴∥平面

又∵

∴平面∥平面，

∴∥平面

∴∥，

∴为平行四边形

∴，矛盾，

∴不存在点，使得∥平面