Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其焦距为2c，若

c

a

=

5 -1

2

（≈0.618），则称椭圆C为“黄金椭圆”．
（1）求证：在黄金椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）中，a、b、c成等比数列．
（2）黄金椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F₂（c，0），P为椭圆C上的任意一点．是否存在过点F₂、P的直线l，使l与y轴的交点R满足

RP

=-3

PF2

？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．
（3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁（-c，0）、F₂（c，0），以A（-a，0）、B（a，0）、D（0，-b）、E（0，b）为顶点的菱形ADBE的内切圆过焦点F₁、F₂．试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）由

c

a

=

5 -1

2

及b²=a²-c²，求得b与ac的关系，根据等比中项的性质可推断a、b、c成等比数列．
（2）设直线l的方程为y=k（x-c），进而可表示出R的坐标根据及

RP

=-3

PF2

，进而表示出P的坐标，把P点代入椭圆的方程整理后可解得k存在，求出k．
（3）根据“黄金双曲线”的定义写出真命题．依题意可知直线EF₂的方程为bx+cy-bc=0，再根据点到直线的距离化简后求得d=a，进而可知
直线EF₂与圆x²+y²=a²相切，同理可证直线EF₁、DF₁、DF₂均与圆x²+y²=a²相切，命题得证．

解答：解：（1）证明：由

c

a

=

5 -1

2

及b²=a²-c²，得b2=a2-c2=a2-(

5 -1

2

a)2=

5 -1

2

a2=ac，
故a、b、c成等比数列．
（2）解：由题设，显然直线l垂直于x轴时不合题意，设直线l的方程为y=k（x-c），
得R（0，-kc），又F₂（c，0），及

RP

=-3

PF2

，
得点P的坐标为(

3c

2

，

kc

2

)，
因为点P在椭圆上，
所以

( 3c 2 )2

a2

+

( kc 2 )2

b2

=1，
又b²=ac，得

9

4

(

c

a

)2+

k2

4

•

c

a

=1，k2=

13-5 5

2

＞0，
故存在满足题意的直线l，其斜率k=±

13-5 5 2

．
（3）在黄金双曲线中有真命题：已知黄金双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦点分别是F₁（-c，0）、F₂（c，0），以F₁（-c，0）、F₂（c，0）、D（0，-b）、E（0，b）为顶点的菱形F₁DF₂E的内切圆过顶点A（-a，0）、B（a，0）．
证明：直线EF₂的方程为bx+cy-bc=0，原点到该直线的距离为d=

bc

b2+c2

，
将b²=ac代入，得d=

c ac

ac+c2

=

c a

a+c

，又将c=

5 +1

2

a代入，
化简得d=a，
故直线EF₂与圆x²+y²=a²相切，
同理可证直线EF₁、DF₁、DF₂均与圆x²+y²=a²相切，
即以A（-a，0）、B（a，0）为直径的圆x²+y²=a²为菱形F₁DF₂E的内切圆，命题得证．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．