Question

【题目】如图所示，已知AB为圆O的直径，C，D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．

（1）求证：AC是∠DAB的平分线；
（2）求证：OF∥AG．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵CF=FG

∴∠CGF=∠FCG

∴AB圆O的直径

∴∠ACB=∠ADB=90°

∵CE⊥AB

∴∠CEA=90°

∵∠CBA=90°﹣∠CAB，∠ACE=90°﹣∠CAB

∴∠CBA=∠ACE

∵∠CGF=∠DGA，

∴∠DGA=∠ABC

∴∴∠CAB=∠DAC

∴C为劣弧BD的中点，

∴AC是∠DAB的平分线；

（2）解：∵∠GBC=90°﹣∠CGB，∠FCB=90°﹣∠GCF

∴∠GBC=∠FCB

∴CF=FB

同理可证：CF=GF

∴BF=FG，

∵OA=OB，

∴OF∥AG．

【解析】（1）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论．（2）由已知及（I）的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论．