Question

椭圆C1：

x2

4

+

y2

3

=1，双曲线C₂的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
（1）求C₁的焦点坐标、离心率及准线方程；
（2）若C₂的离心率与C₁的离心率互为倒数，且C₂的虚半轴长等于C₁焦点到相应准线的距离，求C₂的方程．

Answer 1

分析：（1）可确定椭圆的焦点在x轴上，且a=2，b=

3

，c=1，从而可求焦点坐标、离心率及准线方程；
（2）根据C₂的离心率与C₁的离心率互为倒数，可求双曲线C₂的离心率，利用C₂的虚半轴长等于C₁焦点到相应准线的距离，可求虚半轴长，从而可求C₂的方程．

解答：解：（1）椭圆C₁的焦点坐标为（-1，0）和（1，0），离心率为

1

2

，准线方程为x=±4；
（2）由题意，双曲线C₂的离心率为e=2，虚半轴长b=3，
于是

c

a

=2，得

b2

a2

=

c2-a2

a2

=

c2

a2

-1=4-1=3，
所以a2=

b2

3

=3，
所以双曲线C₂的方程为

x2

3

-

y2

9

=1．

点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆的几何性质，考查双曲线的性质及双曲线的标准方程，属于中档题．