Question

过抛物线y²=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，过B点作抛物线的准线l的垂线，垂足为C，已知点A（4，4），则直线AC的方程为

 

．

Answer 1

分析：先根据抛物线方程求出准线方程，再求出直线AB的方程，进而得到B点的 纵坐标进而得到点C的坐标，然后设直线AC的方程为y=Ax+B，把点C和A的坐标代入求出A，B的值，得到答案．

解答：解：y²=4x，∴p=2，∴准线l的方程为x=-1
设直线AB方程为y=kx+b，把点A和焦点坐标代入可得

k+b=0 4x+b=4

解得k=

4

3

，b=-

4

3

∴直线AB的方程为y=

4

3

x-

4

3

，代入抛物线方程得y²-3y-4=0，解得y=4或-1
∵点A的坐标是（4，4），∴B点纵坐标为-1
∴点C的坐标为（-1，-1）
设直线AC的方程为y=Ax+B，把点C和A的坐标代入得，

4A+B=4 -A+B=-1

解得A=1，B=0
∴直线AC的方程为y=x
故答案为y=x

点评：本题主要考查抛物线的性质和抛物线与直线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视．