Question

设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。                                       

（I）求数列与数列的通项公式；

（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；

（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；

Answer 1

解析：（I）当时，                                        

又

∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴，          …………………………………3分

（II）不存在正整数，使得成立。

证明：由（I）知                                        

∴当n为偶数时，设                                        

∴

当n为奇数时，设

∴

∴对于一切的正整数n，都有                                        

∴不存在正整数，使得成立。      …………………………………8分

（III）由得                                        

又，                                       

当时，，

当时，