Question

已知数列{a_n}中，a₁=

2

，[a_n]表示a_n的整数部分，（a_n）表示a_n的小数部分，a_n+1=[a_n]+

1

(an)

（n∈N^*），则a_n=

 

；数列{b_n}中，b₁=3，b₂=2，

b

2 n+1

=bn•bn+2（n∈N^*），则

n

i=1

aibi=

 

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：根据新定义，结合合情推理，可求数列{a_n}、数列{b_n}的通项，利用错位相减法，可求和．

解答： 解：∵a₁=

2

，[a_n]表示a_n的整数部分，（a_n）表示a_n的小数部分，a_n+1=[a_n]+

1

(an)

，
∴a₂=1+

1

2 -1

=2+

2

，a₃=3+

1

2 -1

=4+

2

，
∴a_n=2(n-1)+

2

，
∵数列{b_n}中，b₁=3，b₂=2，

b

2 n+1

=bn•bn+2，
∴b₃=

4

3

，b₄=

8

9

，b₅=

16

27

，
∴b_n=

2n-1

3n-2

（n≥2），
∴

n

i=1

aibi=

2

+（2+

2

）•2+…+[2(n-1)+

2

]•

2n-1

3n-2

，
令S=（2+

2

）•2+…+[2(n-1)+

2

]•

2n-1

3n-2

，则

2

3

S=（2+

2

）•

4

3

+…+[2（n-2）+

2

]•

2n-1

3n-2

+2(n-1)+

2

]•

2n

3n-1

，
两式相减，化简可得S=（n-2）•2ⁿ⁺¹+

2

•2n+4-2

2

∴

n

i=1

aibi=(n-2)•2n+1+

2

•2n+4-

2

．
故答案为：2(n-1)+

2

，(n-2)•2n+1+

2

•2n+4-

2

．

点评：本题考查新定义，考查合情推理，考查错位相减法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．