Question

下列命题： ①设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为- 1 2 ； ②关于x的不等式（a-3）x2＜（4a-2）x对任意的a∈（0，1）恒成立，则x的取值范围是(-∞，-1]∪[ 2 3 ，+∞)， ③变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则r2＜0＜r1； ④下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 根据上表提供的数据，得出y关于x的线性回归方程为y=a+0.7x，则a=-0.35； 以上命题正确的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：①，欲求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率，即求f′（1），先求出f′（x），然后根据曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1求出g′（1），从而得到f′（x）的解析式，即可求出所求．
②，不等式（a-3）x²＜（4a-2）x即（x²-4x）a-3x²+2x＜0，令g（a）=（x²-4x）a-3x²+2x，a∈（0，1），借助一次函数单调性可得关于x的不等式组，解出即可；
③，求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较．
④，根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出a的值，得到线性回归方程．

解答：解：①中，f′（x）=g′（x）+2x．
∵y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，
∴g′（1）=2，∴f′（1）=g′（1）+2×1=2+2=4，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为4，
故①错误．
②中，不等式（a-3）x²＜（4a-2）x即（x²-4x）a-3x²+2x＜0，
令g（a）=（x²-4x）a-3x²+2x，a∈（0，1）
由题意可得g（a）＜0在a∈（0，1）恒成立，结合一次函数的单调性可得

g(0)≤0 g(1)≤0

，即

-3x2+2x≤0 -2x2-2x≤0

，解不等式组可得x≤-1或x≥

2

3

，
∴x的取值范围是(-∞，-1]∪[

2

3

，+∞)，
故②正确；
③中，∵变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），

.

X

=

10+11.3+11.8+12.5+13.5

5

11.72，

.

Y

=

1+2+3+4+5

5

=3，
∴这组数据的相关系数是r=

7.2

19.172

=0.3755，
变量U与V相对应的一组数据为 （10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）

.

V

=

5+4+3+2+1

5

=3，
∴这组数据的相关系数是-0.3755，
∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，即r₂＜0＜r₁，
故③正确；
④中，由对照数据，计算得

4

i=1

xi2=86，

.

x

=

3+4+5+6

4

=4.5，

.

y

=

2.5+3+4+4.5

4

=3.5，

4

i=1

xiyi=66.5，4

.

x

.

•y

=63，4

.

x

2=81，
∴求得回归方程的系数为b=0.7，a=0.35，
∴所求线性回归方程为y=0.7x+0.35，
故④错误；
故选C．

点评：本题考查导数的几何意义、函数的恒成立问题求解参数的取值、线性回归方程的求解，考查了转化思想，用相关系数来衡量两个变量之间相关关系，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，也利用散点图判断两个变量之间是否有相关关系，本题涉及考点较多，综合性较强．