Question

5．已知函数f（x）在x∈（0，+∞）单调递增，且f（6）=1，若正数a，b满足f（3a+2b）＜1，则$\frac{b+1}{a-1}$的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 若正数a，b满足f（3a+2b）＜1，则0＜3a+2b＜6，画出满足条件的可行域，分析$\frac{b+1}{a-1}$的几何意义，数形结合可得答案．

解答 解：∵函数f（x）在x∈（0，+∞）单调递增，且f（6）=1，
若正数a，b满足f（3a+2b）＜1，
则0＜3a+2b＜6，
满足条件的可行域如下图所示：

$\frac{b+1}{a-1}$表示可行域内（a，b）点与（1，-1）点连线的斜率，
由图可得：$\frac{b+1}{a-1}$的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞），
故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）

点评 本题考查的知识点是函数单调性的性质，线性规划，斜率公式，难度中档．