Question

 

已知椭圆C：的焦点在y轴上，且离心率为．过点(0，3)的直线l与椭圆C相交于两点A、B．

    （1）求椭圆C的方程；

（2）若以AB为直径的圆恰好经过椭圆C的右顶点M，求此时l的方程．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）由题知a²=m，b²=1，∴ c²=m-1．

∴ ，解得m=4．

∴ 椭圆的方程为．  …………………………………………………4分

（2）由（1）知M(1，0)，且据题知=0．

当l的斜率不存在时，A(0，2)，B(0，-2)，

∴ =(-1，2)，=(-1，-2)，

∴ =(-1)×(-1)+2×(-2)=-3≠0，不符合条件．……………………6分

当l的斜率存在时，设l的斜率为k，则l的方程为y=kx+3．

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，于是=(x₁-1，y₁)，=(x₂-1，y₂)．

联立l和椭圆的方程：  消去y，整理得(4+k²)x²+6kx+5=0，

∴ Δ=(6k)²-4×(4+k²)×5=16k²-80>0，解得k²>5．

且，

∴ y₁y₂=(kx₁+3)(kx₂+3)=k²x₁x₂+3k(x₁+x₂)+9=． …………………10分

∵ =x₁x₂-(x₁+x₂)+1+y₁y₂

                 =++1+

                 =，

∴ =0，解得k=-3，或k=5（均满足条件）．

∴  l的方程为y=-3x+3，或y=5x+3．………………………………………12分