Question

7．已知在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_n+2=a_n+2n，则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（n-1）^{2}+1，}&{n为奇数}\\{\frac{1}{2}{（n-1）}^{2}+\frac{3}{2}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 通过a_n+2=a_n+2n可知a_n=a_n-2+2（n-2）、a_n-2=a_n-4+2（n-4）、…、a₄=a₂+2•2、a₃=a₁+2•1，分n为奇偶数两种情况讨论即可．

解答 解：∵a_n+2=a_n+2n，
∴a_n=a_n-2+2（n-2），
a_n-2=a_n-4+2（n-4），
…
a₄=a₂+2•2，
a₃=a₁+2•1，
∴当n为偶数时，a_n=a₂+2[2+4+…+（n-2）]
=2+2[0+2+4+…+（n-2）]
=2+2•$\frac{n（0+n-2）}{4}$
=$\frac{1}{2}$n²-n+2
=$\frac{1}{2}$（n-1）²+$\frac{3}{2}$，
且当n=2时满足上式；
当n为奇数时，a_n=a₁+2[1+3+…+（n-2）]
=1+2•$\frac{（n-1）（1+n-2）}{4}$
=$\frac{1}{2}$（n-1）²+1
且当n=1时满足上式；
综上所述，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（n-1）^{2}+1，}&{n为奇数}\\{\frac{1}{2}{（n-1）}^{2}+\frac{3}{2}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$，
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（n-1）^{2}+1，}&{n为奇数}\\{\frac{1}{2}{（n-1）}^{2}+\frac{3}{2}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．