Question

20．已知定义在（-∞，-1）∪（1，+∞）上的函数f（x）=1n$\frac{x+1}{x-1}$．
（1）试判断f（x）的奇偶性；
（2）若函数在（1，4）上为增函数，解关于t的不等式f（t）+f（t-6）＜0．

Answer 1

分析 （1）根据已知中函数f（x）=1n$\frac{x+1}{x-1}$，得到f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数．
（2）结合（1）中函数的奇偶性和单调性及定义域，可解不等式．

解答 解：（1）∵f（x）=1n$\frac{x+1}{x-1}$．
∴f（-x）=ln$\frac{x-1}{x+1}$=1n（$\frac{x+1}{x-1}$）^-1=-1n$\frac{x+1}{x-1}$=-f（x），
则f（x）为奇函数．
（2）∵f（x）为奇函数，
∴不等式f（t）+f（t-6）＜0．等价为f（t）＜-f（t-6）=f（6-t）．
∵函数在（1，4）上为增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}1＜t＜4\\ 1＜6-t＜4\\ t＜6-t\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1＜t＜4\\ 2＜t＜5\\ t＜3\end{array}\right.$，
解得：t∈（2，3）

点评 本题考查的知识点是函数的单调性和函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．