Question

1．如图，点E在直角三角形ABC的斜边AB上，四边形CDEF为正方形，已知正方形CDEF的面积等于36．设∠CAB=θ，直角三角形ABC的周长L=12+$\frac{a（b+sinθ+cosθ）}{sinθcosθ}$．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求L的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出AF=$\frac{6}{tanθ}$，AE=$\frac{6}{sinθ}$，DB=6tanθ，BE=$\frac{6}{cosθ}$，利用直角三角形ABC的周长L=12+$\frac{a（b+sinθ+cosθ）}{sinθcosθ}$，即可求a，b的值；
（Ⅱ）利用导数，确定函数的单调性求L的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵正方形CDEF的面积等于36，
∴EF=ED=6，
∴AF=$\frac{6}{tanθ}$，AE=$\frac{6}{sinθ}$，DB=6tanθ，BE=$\frac{6}{cosθ}$，
∴直角三角形ABC的周长L=12+$\frac{6}{tanθ}$+$\frac{6}{sinθ}$+6tanθ+$\frac{6}{cosθ}$=12+$\frac{6（1+sinθ+cosθ）}{sinθcosθ}$，
∴a=6，b=1；
（Ⅱ）L′=$\frac{6（cosθ-sinθ）sinθcosθ-6（1+sinθ+cosθ）cos2θ}{（sinθcos{θ）}^{2}}$=0，
∴θ=45°，
0°＜θ＜45°，L′＜0，45°＜θ＜90°，L′＞0，
∴θ=45°，L的最小值为12（2+$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查求函数的解析式问题，是一道中档题．