Question

正三棱锥P-ABC中，CM=2PM，CN=2NB，对于以下结论：
①二面角B-PA-C大小的取值范围是（

π

3

，π）；
②若MN⊥AM，则PC与平面PAB所成角的大小为

π

2

；
③过点M与异面直线PA和BC都成

π

4

的直线有3条；
④若二面角B-PA-C大小为

2π

3

，则过点N与平面PAC和平面PAB都成

π

6

的直线有3条．       
正确的序号是

①②④

．

Answer 1

分析：①利用二面角的大小区判断．②利用线面角的定义去判断．③利用异面直线的概念去判断．④利用二面角的大小进行判断．

解答：解：①设底面正三角形的边长为1，过B作BD⊥PA，连结CD，则∠BDC是二面角B-PA-C大小，因为底面三角形ABC是正三角形，所以∠CAB=

π

3

，所以当点P无限靠近点O时，即高无限小时，∠BDC接近

π

3

，所以二面角B-PA-C大小的取值范围是（

π

3

，π），所以①正确．
②因为CM=2PM，CN=2NB，所以MN∥PB．若MN⊥AM，则PB⊥AM，因为P-ABC是正三棱锥，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PB⊥AC，因为AM∩AC=A，所以PB⊥面PAC，因为P-ABC是正三棱锥，所以必有PC⊥面PAB，所以PC与平面PAB所成角的大小为

π

2

，所以②正确．
③因为因为P-ABC是正三棱锥，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PA⊥BC．所以过点M与异面直线PA和BC都成

π

4

的直线有两条，所以③错误．
④若二面角B-PA-C大小为

2π

3

，则∠BDC=

2π

3

，此时∠EDC=

π

3

，（其中E是BC的中点），∠DBC=

π

6

，所以此时直线BC与平面PAC和平面PAB都成

π

6

，又因为平面PAC和平面PAB的法向量的夹角为

π

3

，此时适当调整过N的直线，可以得到两条直线使得过点N与平面PAC和平面PAB都成

π

6

，所以满足过点N与平面PAC和平面PAB都成

π

6

的直线有3条． 所以④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题综合考查了正三棱锥的性质以及利用正三棱锥研究线面角和二面角的大小，综合性强，难度大．