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的定义域为,的导函数为,且对任意正数均有

(1)判断函数上的单调性;

(2)设,比较的大小,并证明你的结论;

(3)设,若,比较的大小,并证明你的结论.

(Ⅰ) 上是增函数.

(Ⅱ) .

(Ⅲ)


解析:

(Ⅰ)由于得,,而,则

,因此上是增函数.

(Ⅱ)由于,则,而上是增函数,

,即,∴(1),

同理 (2)

(1)+(2)得:,而

因此 .

(Ⅲ)证法1: 由于,则,而上是增函数,则,即

同理

以上个不等式相加得:

证法2:数学归纳法

(1)当时,由(Ⅱ)知,不等式成立;

(2)当时,不等式成立,

成立,

则当时, +

再由(Ⅱ)的结论, +

+

因此不等式对任意的自然数均成立.

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