Question

（2007•静安区一模）设f(x)=

-2x+a

2x+1+b

（a，b为实常数）．
（1）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（2）设f（x）是实数集上的奇函数，求a与b的值；
（3）（理） 当f（x）是实数集上的奇函数时，证明对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．
（4）（文）求（2）中函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）证明不是奇函数，可用特殊值法；如证明：f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函数；
（2）利用奇函数定义f（-x）=-f（x），再用待定系数法求解；
（3）即证明c²-3c+3大于f（x）的最大值，所以先求f（x）的最大值．
（4）先将原函数式化成：f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，将2^x看成整体，利用其范围结合不等式的性质即可求得函数f（x）的值域．

解答：解：（1）f(x)=

-2x+1

2x+1+1

，f(1)=

-2+1

22+1

=-

1

5

，f(-1)=

- 1 2 +1

2

=

1

4

，
所以f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函数；                       （4分）
（2）f（x）是奇函数时，f（-x）=-f（x），即

-2-x+a

2-x+1+b

=-

-2x+a

2x+1+b

对任意实数x成立．      （6分）
化简整理得（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0，这是关于x的恒等式，
所以

2a-b=0 2ab-4=0

，所以

a=-1 b=-2

（舍）或

a=1 b=2

．           （10分）
（3）（理）f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
因为2^x＞0，所以2^x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1，从而-

1

2

＜f(x)＜

1

2

；                 （14分）
而c2-3c+3=(c-

3

2

)2+

3

4

≥

3

4

对任何实数c成立；              （16分）
所以对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．               （18分）
（4）（文） f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，因为2^x＞0，（12分）
所以2^x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1，（14分）
从而-

1

2

＜f(x)＜

1

2

；所以函数f（x）的值域为(-

1

2

，

1

2

)．        （18分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想；属于基础题．