Question

某几何体的一条棱长为

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，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为

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的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，求a+b的最大值．

Answer 1

分析：如图，把已知几何体长为

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的棱看做某一个长方体的对角线，设长方体的对角线A₁C=

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，则它的正视图的投影长为D1C=

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，侧视图的投影长为B₁C=a，俯视图投影长为A₁C=b，由长方体的对角线与三条面对角线的关系，即可得到a、b满足的关系式，进而利用基本不等式的性质即可求出答案．

解答：解：如图，把已知几何体长为

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的棱看做某一个长方体的对角线，设长方体的对角线A₁C=

7

，则它的正视图的投影长为D1C=

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，侧视图的投影长为B₁C=a，俯视图投影长为A₁C₁=b，
则a2+b2+(

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)2=2×(

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)2，即a²+b²=8．
∵a²+b²≥2ab，∴2（a²+b²）≥（a+b）²，∴

a+b

2

≤

a2+b2 2

=2，当且仅当“a=b=2”时取等号．
∴a+b≤4，即a+b的最大值为4．

点评：把已知长为

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的棱看做某一长方体的对角线是解决问题的关键．