Question

已知函数f（x）=x³-3x²+1，g（x）=

x+ 1 4x ，x＞0 -x2-6x-8，x≤0

，则方程g[f（x）]-a=0（a为正实数）的根的个数不可能 为（　　）

• A、3个
• B、4个
• C、5个
• D、6个

Answer 1

分析：由已知中函数的解析式，我们易求出f（x）与y=m的交点情况为：当a＜-3，或a＞1时，有一个交点；当a=-3，或a=1时，有两个交点；当-3＜a＜1时，有三个交点；g（x）与y=a点情况为（x）与y=a的交点情况为：当0＜a＜1时有两个交点，一个在区间（-4，-3）上，一个在区间（-3，-2）上；当a=1时有两个交点，一个为-3，一个为

1

2

；当a＞1时有两个交点，一个在区间（0，

1

2

）上，一个在区间（

1

2

-，1）上．分类讨论后，即可得到方程g[f（x）]-a=0（a为正实数）的根的个数所有的情况，进而得到答案．

解答：解：∵函数f（x）=x³-3x²+1，g（x）=

x+ 1 4x ，x＞0 -x2-6x-8，x≤0

，
∴当a=1时，若方程g[f（x）]-a=0，则：
f（x）=-3，此时方程有2个根
或f（x）=

1

2

，此时方程有3个根
故方程g[f（x）]-a=0可能共有5个根；
当0＜a＜1时，方程g[f（x）]-a=0，则：
f（x）∈（-4，-3），此时方程有1个根
或f（x）∈（-3，-2），此时方程有3个根
故方程g[f（x）]-a=0可能共有4个根；
当a＞1时，方程g[f（x）]-a=0，则：
可能有4个、5个或6个根．
故选A．

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中分析内外函数的图象是解答本题的关键．