Question

P，Q 是平面α 内两个定点，点M 为平面α 内的动点，且

|MP|

|MQ|

=λ （λ＞0，且λ≠1），点M 的轨迹所围成的平面区域的面积为S，设S=f（λ） （λ＞0，且λ≠1），则以下判断正确的是（　　）

• A、f（λ）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上也是增函数
• B、f（λ）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上也是减函数
• C、f（λ）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
• D、f（λ）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数

Answer 1

分析：设：M（x，y），为方便设P（-a，0），Q（a，0）根据|MP|=λ|MQ|建立等式关系，求出轨迹方程，然后点M的轨迹所围成的平面区域的面积为S=f（λ），研究其单调性即可．

解答：解：设：M（x，y），为方便设P（-a，0），Q（a，0）
则：|MP|=λ|MQ|⇒|MP|²=λ²[|MQ|²]⇒（x+a）²+y²=λ²[（x-a）²+y²]⇒
（1-λ²）x²+（1-λ²）y²+2a（1+λ²）x=a²（λ²-1）⇒
x²+y²-2a•

1+λ2

λ2-1

x=-a²⇒其轨迹是个圆．圆的半径是R，则：R²=（2a•

1+λ2

λ2-1

）²-a²
⇒题目中f（x）的单调性就是这个的单调性
设：g（λ）=（2•

1+λ2

λ2-1

）²=4（1+

2

λ2-1

）²
故选D．

点评：本题主要考查了函数单调性的判断与证明，解题的关键是求轨迹方程，属于中档题．