【题目】已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧, =2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A.2
B.3
C.
D.
【答案】B
【解析】解:设直线AB的方程为:x=ty+m,点A(x1 , y1),B(x2 , y2), 直线AB与x轴的交点为M(m,0),
由 y2﹣ty﹣m=0,根据韦达定理有y1y2=﹣m,
∵ =2,∴x1x2+y1y2=2,
结合 及 ,得 ,
∵点A,B位于x轴的两侧,∴y1y2=﹣2,故m=2.
不妨令点A在x轴上方,则y1>0,又 ,
∴S△ABO+S△AFO= ×2×(y1﹣y2)+ × y1 ,
= .
当且仅当 ,即 时,取“=”号,
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3,故选B.
可先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利用韦达定理及 =2消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题.
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【题目】已知椭圆C中心在原点,离心率 ,其右焦点是圆E:(x﹣1)2+y2=1的圆心.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)如图,过椭圆C上且位于y轴左侧的一点P作圆E的两条切线,分别交y轴于点M、N.试推断是否存在点P,使 ?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】设奇函数f(x)在区间[﹣7,﹣3]上是减函数且最大值为﹣5,函数g(x)= ,其中a< .
(1)判断并用定义法证明函数g(x)在(﹣2,+∞)上的单调性;
(2)求函数F(x)=f(x)+g(x)在区间[3,7]上的最小值.
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【题目】已知椭圆E: =1(a>b>0)的离心率为 ,以E的四个顶点为顶点的四边形的面积为4 . (Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设A,B分别为椭圆E的左、右顶点,P是直线x=4上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M、N,试探究,点B是否在以MN为直径的圆内?证明你的结论.
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【题目】已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=3f(x+2),当x∈[0,2)时,f(x)=﹣x2+2x.设f(x)在[2n﹣2,2n)上的最大值为an(n∈N*) , 且{an}的前n项和为Sn , 则Sn的取值范围是( )
A.[1, )
B.[1, ]
C.[ ,2)
D.[ ,2]
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