Question

15．已知曲线C：y=f（x）=-x³+3x²-4，x∈R，则曲线C在点P（0，-4）处的切线方程为y=-4；曲线C过点P（0，-4）的切线方程为y=-4或y=$\frac{9}{4}$x-4．

Answer 1

分析 求出导数，求出在点P（0，-4）处的切线的斜率，由点斜式方程得到切线方程；求出导数，设出切点（m，n），求出切线的斜率，求得切线方程代入点P解方程可得m，即可得到切线的方程．

解答 解：y=f（x）=-x³+3x²-4的导数为y′=-3x²+6x，
则在点P（0，-4）处的切线的斜率k=0，
故切线方程为y+4=0（x-0），
即为y+4=0；
设切点为（m，n），则切线的斜率为k=-3m²+6m，
切线方程为y-n=（-3m²+6m）（x-m），
代入（0，-4）可得-4-n=（-m）（-3m²+6m），
又n=-m³+3m²-4，
解方程可得m=0或$\frac{3}{2}$，
可得切线的斜率为0或$\frac{9}{4}$．
即有切线方程为y=-4或y=$\frac{9}{4}$x-4．
故答案为：y=-4，y=-4或y=$\frac{9}{4}$x-4．

点评 本题考查导数的几何意义：曲线在该点处切线的斜率，考查运算能力，确定切点和正确求导是解题的关键，属于中档题和易错题．