分析 由求导公式和法则求出f′(x),化简后根据导数的符号判断出f(x)的单调性,对a进行分类讨论,根据函数的单调性求出函数的最小值,由条件和存在性问题列出不等式,求出实数a的取值范围.
解答 解:由题意设f(x)=ex(x-a)-2,
则f′(x)=ex(x-a+1),由f′(x)=0得,x=a-1,
当x∈(-∞,a-1)时,f′(x)<0,则f(x)是减函数,
当x∈(a-1,+∞)时,f′(x)>0,则f(x)是增函数,
①当a-1≤0时,则a≤1,f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∵存在正实数x0使e${\;}^{{x}_{0}}$(x0-a)<2成立,
∴函数的最小值是f(0)=-a-2<0,解得a>-2,即-2<a≤1;
②当a-1>0时,则a>1,
f(x)在(0,a-1)是减函数,在(a-1,+∞)上是增函数,
∵存在正实数x0使e${\;}^{{x}_{0}}$(x0-a)<2成立,
∴函数的最小值是f(a-1)=ea-1(a-1-a)-2<0,
即-ea-1-2<0恒成立,
则a>1,
综上可得,实数a的取值范围是(-2,+∞).
点评 本题考查利用导数研究函数的单调性、最值问题,存在性问题的转化,以及构造函数法,考查分类讨论思想,转化思想.
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A. | -$\sqrt{3}$ | B. | 0 | C. | $\sqrt{3}$ | D. | 2$\sqrt{3}$ |
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A. | -2 | B. | -1 | C. | 1 | D. | 2 |
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