Question

已知曲线C:x²+y²+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中k≠-1.

(1)求证：曲线C都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；

(2)证明：曲线C过定点；

(3)若曲线C与x轴相切，求k的值.

Answer 1

解析：(1)原方程可化为

(x+k)²+(y+2k+5)²=5(k+1)².

∵k≠-1,∴5(k+1)²＞0.

故方程表示圆心在(-k,-2k-5)、半径为5|k+1|的圆.

设圆心为(x,y)有消去k，得2x-y-5=0.

∴这些圆的圆心都在直线2x-y-5=0上.

(2)将原方程变形成k(2x+4y+10)+(x²+y²+10y+20)=0.

上式关于参数k是恒等式.

∴解得

∵曲线C过定点(1，-3)

(3)∴圆C与x轴相切，∴圆心到x轴的距离等于半径，

即  |-2k-5|=|k+1|.

两边平方，得(2k+5)²=5(k+1)².

∴k=5±.