【题目】设数列满足:,(其中为非零实常数).
(1)设,求证:数列是等差数列,并求出通项公式;
(2)设,记,求使得不等式成立的最小正整数;
(3)若,对于任意的正整数,均有,当、、依次成等比数列时,求、、的值.
【答案】(1),见解析;(2)10;(3)见解析
【解析】
(1)时,根据定义可证数列是等差数列,根据等差数列的通项公式可求;
(2)时,将已知变形可得数列是等比数列,可得的通项公式,
可得的通项公式,再求和解不等式可得;
(3)且时,将已知变形为,可得数列为等比数列,可求得,再根据数列递增可求得,再由、、依次成等比数列,可得,因为,所以只能是.
(1)证明:时,由 得,
所以数列是首项为,公差为的等差数列,
所以.
(2)时,由得.
因为,所以数列是首项为1,公比为的等比数列,
所以,
所以,
所以,
所以,
所以,即,
所以,所以,
所以.
所以使得不等式成立的最小正整数为10.
(3)时,由,得,
得,
所以,
所以,
由知为自然数,所以,
又对于任意的正整数,均有,
所以数列为递增数列,
所以,又,
所以,
所以,
所以,
因为、、依次成等比数列,
所以,
即.
即,
因为,,,
所以只能有,
所以,
综上.
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【题目】某校抽取了100名学生期中考试的英语和数学成绩,已知成绩都不低于100分,其中英语成绩的频率分布直方图如图所示,成绩分组区间是,,,,.
(1)根据频率分布直方图,估计这100名学生英语成绩的平均数和中位数(同一组数据用该区间的中点值作代表);
(2)若这100名学生数学成绩分数段的人数y的情况如下表所示:
分组区间 | |||||
y | 15 | 40 | 40 | m | n |
且区间内英语人数与数学人数之比为,现从数学成绩在的学生中随机选取2人,求选出的2人中恰好有1人数学成绩在的概率.
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【题目】如图,某市有相交于点O的一条东西走向的公路l,与南北走向的公路m,这两条公路都与一块半径为1(单位:千米)的圆形商城A相切.根据市民建议,欲再新建一条公路PQ,点P、Q分别在公路l、m上,且要求PQ与圆形商城A也相切.
(1)当P距O处4千米时,求OQ的长;
(2)当公路PQ长最短时,求OQ的长.
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【题目】为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某城区对辖区内,,三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估,考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位,未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位.现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位,其考评分数如下:
类行业:85,82,77,78,83,87;
类行业:76,67,80,85,79,81;
类行业:87,89,76,86,75,84,90,82.
(Ⅰ)计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数;
(Ⅱ)若从抽取的类行业这6个单位中,再随机选取3个单位进行某项调查,求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位,又有“非星级”环保单位的概率.
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【题目】已知椭圆:的左,右焦点分别为,,且经过点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点作一条斜率不为的直线与椭圆相交于两点,记点关于轴对称的点为.证明:直线经过轴上一定点,并求出定点的坐标.
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【题目】某中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽取20名学生,其中8名女生中有3名报考理科,男生中有2名报考文科.
(1)根据以上信息,写出列联表;
(2)用假设检验的方法分析有多大的把握认为该中学的高三学生选报文理科与性别有关?
参考公式:
p(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.07 | 2.71 | 3.84 | 5.02 | 6.64 | 7.88 | 10.83 |
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【题目】已知函数.
(1)试求函数的极值点的个数;
(2)若,恒成立,求的最大值.
参考数据:
1.6 | 1.7 | 1.74 | 1.8 | 10 | |
4.953 | 5.474 | 5.697 | 6.050 | 22026 | |
0.470 | 0.531 | 0.554 | 0.558 | 2.303 |
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【题目】已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1,-2),过点P作直线l.
(1)求使直线l和y=f(x)相切且以P为切点的直线方程;
(2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于点P的直线方程y=g(x).
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【题目】某市春节期间7家超市的广告费支出(万元)和销售额(万元)数据如下:
超市 | A | B | C | D | E | F | G |
广告费支出 | 1 | 2 | 4 | 6 | 11 | 13 | 19 |
销售额 | 19 | 32 | 40 | 44 | 52 | 53 | 54 |
参数数据及公式:,,,,,,.
(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系,求y关于x的线性回归方程;
(2)用对数回归模型拟合y与x的关系,可得回归方程:,经计算得出线性回归模型和对数模型的分别约为0.75和0.97,请用说明选择哪个回归模型更合适,并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额.
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